我校数学系吴新元教授课题组第二本专著再次赢得美国数学会《Mathematical R...

2013年初吴新元教授带领的课题组在国际著名出版社 Springer出版了关于振荡微分方程保结构算法的第一本英文专著，并获得了美国数学会《Mathematical Reviews》的好评（MR3026657）。2015年底 Springer 出版社出版了该课题组的第二本英文专著：“Structure-Preserving Algorithms for Oscillatory Differential Equations II”。该书系统阐述了课题组在该研究领域取得的一系列新成果，并且再次赢得了美国数学会《Mathematical Reviews》的高度评价。

1984冯康院士首次提出微分方程辛几何算法，开启了国内外微分方程保结构算法研究。三十多年来这一研究已经获得了巨大发展，成为现代科学与工程计算领域中极其重要的研究分支。冯康院士倡导的“离散系统应当尽可能多地保持原连续系统的特征性质和内在的对称性”已经成为该领域研究人员的共同实践。吴教授带领的课题组在二阶振荡和高振荡微分方程保结构算法的前沿领域开展了深入持久的研究，取得了一系列重要成果，相关工作分别发表在Found. Comput. Math., SIAM J. Numer. Anal., SIAM J. SCI. Comput., J. Comput. Phys.，BIT Numer. Math.等国际主流刊物。研究成果受到了国际同行的高度关注。吴教授应邀分别在中科院、英国剑桥大学、伦敦帝国理工；美国普渡大学、贝勒大学；澳大利亚国立大学，拉筹贝大学；德国图宾根大学，卡尔斯鲁厄大学；新西兰奥克兰大学，梅西大学；加拿大麦吉尔大学等诸多学术机构作专题报告。这第二本专著是吴教授课题组近年来主要研究成果的系统性总结。 全书共分十二章。第一章侧重在矩阵常数变易公式，这个公式是研究多频高振荡微分方程保结构算法的基石。第二章首先论述了改进的Störmer-Verlet方法及其在科学计算中的应用，据此导出了显式辛和对称ERKN算法的耦合条件。第三章探索求解高振荡问题改进的Filon-型渐近方法。第四章和第五章分别研究了求解振荡哈密顿系统推广的AVF方法和广义离散梯度公式，它们都是保能量算法。第六章详细分析求解多频高振荡微分方程的傅里叶配置方法。第七章和第八章分别建立了显式ERKN方法和TSERKN方法的误差界。第九章讨论了高精度显式辛ERKN积分法。第十章导出了求解一般多频振荡微分方程的高阶ARKN方法。第十一章为ERKN方法构建了一种简化的Nystrom三色树集合和B-级数理论。第十二章发展了求解多辛哈密顿偏微分方程的局部能量守恒积分法。 与文献中已有工作相比，这本专著具有以下主要贡献：系统阐明了矩阵常数变易公式对于研究振荡微分方程保结构算法的重要意义；进一步发展了求解振荡微分方程的能量守恒方法、辛方法，对称方法，并开发了三角傅里叶配置方法；首次研究和分析了ERKN方法和TSERKN方法的误差界；提出了一种新的三色树集合，为分析ERKN方法的阶条件建立了新的B-级数理论；进一步发展了求解多辛哈密顿偏微分方程的一般局部保能量方法。书中的数值试验充分展现了新的保结构算法在长期数值行为方面的优越性。

美国数学会《Mathematical Reviews》（MR3468532）赞誉这本书是该领域中科学家和工程师的 “优秀参考书（an excellent reference）”对于应用数学、工程和物理的高年级学生和研究生是“宝贵的源泉（an invaluable resource）”，可以作为初值问题保结构算法课程的教科书（can also be used as a textbook in courses on structure preserving numerical algorithms for IVPs)。

美国数学会《Mathematical Reviews》在书评中最后总结中写道： “This monograph is an excellent reference for practicing scientists and engineers who need in-depth information about structure-preserving integration of oscillatory ODEs. Senior undergraduate and graduate students of applied mathematics, engineering and physics will find the book to be an invaluable resource. It can also be used as a textbook in courses on structure preserving numerical algorithms for IVPs.”

(数学系 科学技术处)

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